练习题
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求下列多项式除法得到的商：
a) \((x^3 + 2x^2 - x - 2)\) 除以 \((x + 1)\)
b) \((x^3 + 2x^2 - 9x + 2)\) 除以 \((x - 2)\)
c) \((20 + x + 3x^2 + x^3)\) 除以 \((x + 4)\)
记住要按幂的降序排列多项式，并包含系数为0的缺失项。
求下列多项式除法得到的商和余数：
a) \((x^3 + 8x^2 + 17x + 16)\) 除以 \((x + 5)\)
b) \((x^3 - 15x^2 + 61x - 48)\) 除以 \((x - 7)\)
c) \((3x^3 + 4x^2 + 7)\) 除以 \((2 + x)\)
对于c)部分，先将 \((2 + x)\) 重写为 \((x + 2)\) 再进行除法。
使用因式定理确定下列多项式是否为因式：
a) \((x - 1)\) 是否是 \((x^3 + 2x^2 - 2x - 1)\) 的因式？
b) \((x + 2)\) 是否是 \((x^3 - 5x^2 - 9x + 2)\) 的因式？
c) \((x - 3)\) 是否是 \((x^3 - x^2 - 14x + 27)\) 的因式？
如果余数为0，则除数是因式；如果余数≠0，则除数不是因式。
设 \(f(x) \equiv x^3 - 2x^2 - 11x + 12\)
a) 证明 \((x - 1)\) 是 \(f(x)\) 的因式
b) 因此，将 \(f(x)\) 表示为三个线性因式的乘积
对于b)部分，在证明 \((x-1)\) 是因式后，将 \(f(x)\) 除以 \((x-1)\) 得到二次式，然后因式分解二次式。
a) \((x^3 + 2x^2 - x - 2) \div (x + 1)\)
商：\(x^2 + x - 2\)，余数：\(0\)
因此：\(x^3 + 2x^2 - x - 2 = (x + 1)(x^2 + x - 2)\)
b) \((x^3 + 2x^2 - 9x + 2) \div (x - 2)\)
商：\(x^2 + 4x - 1\)，余数：\(0\)
因此：\(x^3 + 2x^2 - 9x + 2 = (x - 2)(x^2 + 4x - 1)\)
c) \((20 + x + 3x^2 + x^3) \div (x + 4)\)
首先重写：\(x^3 + 3x^2 + x + 20\)
商：\(x^2 - x + 5\)，余数：\(0\)
因此：\(x^3 + 3x^2 + x + 20 = (x + 4)(x^2 - x + 5)\)
使用长除法逐步进行多项式除法运算。注意要按降幂排列多项式，并包含缺失的幂次。
a) \((x^3 + 8x^2 + 17x + 16) \div (x + 5)\)
商：\(x^2 + 3x + 2\)，余数：\(6\)
因此：\(x^3 + 8x^2 + 17x + 16 = (x + 5)(x^2 + 3x + 2) + 6\)
b) \((x^3 - 15x^2 + 61x - 48) \div (x - 7)\)
商：\(x^2 - 8x + 5\)，余数：\(-13\)
因此：\(x^3 - 15x^2 + 61x - 48 = (x - 7)(x^2 - 8x + 5) - 13\)
c) \((3x^3 + 4x^2 + 7) \div (x + 2)\)
商：\(3x^2 - 2x + 4\)，余数：\(-1\)
因此：\(3x^3 + 4x^2 + 7 = (x + 2)(3x^2 - 2x + 4) - 1\)
注意余数可能为负数，这是正常的。余数不为0说明除数不是因式。
a) \((x - 1)\) 除以 \((x^3 + 2x^2 - 2x - 1)\)
余数：\(0\)，因此：是的，\((x - 1)\) 是因式
b) \((x + 2)\) 除以 \((x^3 - 5x^2 - 9x + 2)\)
余数：\(-8\)，因此：不，\((x + 2)\) 不是因式
c) \((x - 3)\) 除以 \((x^3 - x^2 - 14x + 27)\)
余数：\(0\)，因此：是的，\((x - 3)\) 是因式
使用因式定理：如果余数为0，则除数是因式；如果余数≠0，则除数不是因式。
a) 证明 \((x - 1)\) 是 \(f(x)\) 的因式
\(f(x) \div (x - 1) = (x^3 - 2x^2 - 11x + 12) \div (x - 1)\)
商：\(x^2 - x - 12\)，余数：\(0\)
因此：\((x - 1)\) 是因式
b) 将 \(f(x)\) 表示为三个线性因式的乘积
由于：\(f(x) = (x - 1)(x^2 - x - 12)\)
因式分解：\(x^2 - x - 12 = (x - 4)(x + 3)\)
因此：\(f(x) = (x - 1)(x - 4)(x + 3)\)
先证明一个因式，然后通过除法得到二次式，再因式分解二次式得到完整的因式分解。